天体のfluxからBroad-band magnitudeを計算

一度ちゃんとまとめておきたかったのでメモ。内容はLBLのNaoさんが院生時代に使っていたものを参考にしています。

まず、等級は天体のflux $f_{\lambda}$ , reference spectrum $f_{\lambda}^{*}$ , fileter response $R(\lambda)$ , reference magnitude $m_R^{*}$ を用いて以下のように定義できる。

$\displaystyle m_R=-2.5\log_{10}\frac{\int \lambda f_{\lambda}R(\lambda)d\lambda}{\int \lambda f_{\lambda}^{*}R(\lambda)d\lambda}+m_{R}^{*}$

Vega Mag, ST Mag, AB Magのうち、Vega MagはreferenceにVega fluxを使ったもの、ST MagとAB Magはreferenceとして一定の $f_{\lambda}, f_{\nu}$ を使ったものと定義されている。詳しくは以下。

VEGAmag : Magnitude system where Vega has magnitude 0 at all wavelengths by definition. The vega magnitude of a star with flux F is -2.5 log10 (F/F_vega) where F_vega is the current flux spectrum of Vega from the CALSPEC archive.
STmag and ABmag: Both systems define the absolute physical flux density for a point source. The conversion is chosen so that the magnitude at V corresponds roughly to that in the Johnson system. In the STmag system, the flux density is expressed per unit wavelength, while in the ABmag system, the flux density is expressed per unit frequency.
Hubble Space Telescope ACS Flux Calibration and Zeropointsから引用。

$f_{\lambda}$ based magnitude: ST Mag (Koorneef et al. 1986)

ST Magは $f_{\lambda}^{*}=3.63078 \times 10^{-9} [{\rm erg } {\rm cm }^{-2} s^{-1} {\rm \AA}^{-1}]$ で固定したもの。

このfluxでSTMAGが0になるようにするには、

$\displaystyle m_R^{*}=-2.5\log_{10}(f_{\lambda}^{*})=-21.10$

であればいいので、STMagは以下のように計算出来る。

$\displaystyle {\rm STMAG}(R)=-2.5\log_{10}\frac{\int \lambda f_{\lambda}Rd\lambda}{\int \lambda Rd\lambda}-21.10$

$f_{\nu}$ based magnitude: AB Mag (Oke 1964)

AB Magは $f_{\nu}^{*}=3.63078 \times 10^{-20} [{\rm erg } {\rm cm }^{-2} s^{-1} {\rm Hz}^{-1}]$ で固定したもの。

一番最初の定義式に戻って $\lambda$ から $\nu$ を以下のように変数変換する。

$\displaystyle \lambda=\frac{c}{\nu}$ $\displaystyle f_{\lambda}=f_{\nu}\frac{d\nu}{d\lambda}=f_{\nu}\frac{c}{\lambda^2}$

ABMAGが0になるようにするには、

$\displaystyle m_R^{*}=-2.5\log_{10}(f_{\nu}^{*})=-48.6$

であればいいので、結局ABMAGは以下のように計算出来る。

$\displaystyle {\rm ABMAG}(R)=-2.5\log_{10}\frac{\int f_{\nu}\frac{R}{\nu}d\nu}{\int \frac{R}{\nu}d\nu}-48.6$

また、ABMAG⇄STMAGのconversionは（上記の変数変換を使って）計算すると以下のようになる。

$\displaystyle {\rm ABMAG}(R)-{\rm STMAG}(R)=-2.5\log_{10}\frac{\int \lambda Rd\lambda}{\int \frac{R}{\lambda}d\lambda}+18.69$

これによって、ABMAGを $\lambda$ で表すことも可能。

$\displaystyle {\rm ABMAG}(R)={\rm STMAG}(R)-2.5\log_{10}\frac{\int \lambda Rd\lambda}{\int \frac{R}{\lambda}d\lambda}+18.69\\ =-2.5\log_{10}\frac{\int \lambda f_{\lambda}Rd\lambda}{\int \lambda Rd\lambda}-21.10-2.5\log_{10}\frac{\int \lambda Rd\lambda}{\int \frac{R}{\lambda}d\lambda}+18.69\\ =-2.5\log_{10}\frac{\int \lambda f_{\lambda}Rd\lambda}{\int \frac{R}{\lambda}d\lambda}-2.408$

Vega magnitude

最初の定義によりVega magnitudeは、

$\displaystyle {\rm Vega Mag}=-2.5\log_{10}\frac{\int \lambda f_{\lambda}Rd\lambda}{\int \lambda f_{\lambda}^{Vega}Rd\lambda}+0.0$

なので、

$\displaystyle {\rm ABMAG}-{\rm Vega Mag}=-2.5\log_{10}\frac{\int \lambda f_{\lambda}^{Vega}Rd\lambda}{\int \frac{R}{\lambda}d\lambda}-2.408$

従って、

$\displaystyle {\rm ABMAG}(R)={\rm Vega Mag}-2.5\log_{10}\frac{\int \lambda f_{\lambda}^{Vega}Rd\lambda}{\int \frac{R}{\lambda}d\lambda}-2.408$

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天体のfluxからBroad-band magnitudeを計算

$f_{\lambda}$ based magnitude: ST Mag (Koorneef et al. 1986)

$f_{\nu}$ based magnitude: AB Mag (Oke 1964)

Vega magnitude

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based magnitude: ST Mag (Koorneef et al. 1986)

based magnitude: AB Mag (Oke 1964)

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$f_{\lambda}$ based magnitude: ST Mag (Koorneef et al. 1986)

$f_{\nu}$ based magnitude: AB Mag (Oke 1964)

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